SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2012-2013
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Ngày thi: 15/03/2013
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.



Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm
đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình

2. Giải hệ phương trình

Câu III (4,0 điểm)
1. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng :


2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực


Câu IV (4,0 điểm)
1. Cho khai triển
Chứng minh rằng:


2. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm
Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB, AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC của tam giác ABC là
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu V (4,0 điểm)
1. Cho hình lăng trụ đứng
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB bằng 2a và
bằng 300. Tính thể tích của khối lăng trụ
biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
bằng

2. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -2; -3), B(-6; 10; -3). Viết phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 15 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 2.
.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

SỞ GD&ĐT THANH HÓA

Đề chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn thi: TOÁN
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 07 trang )


Câu
Ý
Nội dung
Điểm

I.
(4.0)
1.

 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
...
2,00



Tập xác định:

Sự biến thiên:
Giới hạn và tiệm cận:

, tiệm cận ngang: y = 2,

; tiệm cận đứng:
.
0,50



Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng
và

0,50



Bảng biến thiên:
x


y’



y









0,50







Đồ thị :









Đồ thị (C) nhận giao điểm hai tiệm cận I(-2; 2) làm tâm đối xứng.

0,50


2.




Viết phương trình tiếp tuyến...
2,00



Gọi
là hoành độ của tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm. Khi đó phương trình tiếp là:

0,50




Ta có


0,50










Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

0,50



Với

Với

0,50

II.
(4.0)
1.

Giải phương trình:
(1)
2,00



*ĐK:

* Ta có:

0,50



* Nên:





0,50








0,25






0,25





0,25



Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:

0,25


2.


Giải hệ phương trình :

2,00



 Đ/k
và

Đặt t = 2x – y, phương trình (1) trở thành:

0,25




(3)
0,25



Ta có hàm số
nghịch biến và hàm số
đồng biến trên